Aplicaciones de la Función Cuadrática en Ingeniería Forestal 

By Claudio Hurtado Tutoría personal Cálculo y Álgebra +56937780070 

Objetivo:

Aplicar la función cuadrática en problemas reales dentro del ámbito de la ingeniería forestal.

Estimado (a) estudiante, la idea es que, sin ver el desarrollo, leas el enunciado de cada ejercicio e intentes un camino para resolverlo, uno a uno. Vamos tú puedes.

Ejercicio 1: Modelado del crecimiento de árboles

Un árbol joven crece siguiendo la función h(t) = -0.05t^2 + 2t + 1, donde h(t) es la altura en metros después de t meses. Determinar:

a) Altura inicial del árbol.

• Evaluamos en t = 0: h(0) = -0.05*(0)^2 + 2*(0) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 metro

b) Altura máxima y cuándo se alcanza.

• La altura máxima se alcanza en el vértice de la parábola: t = -b / (2a) = -2 / (2*(-0.05)) = -2 / (-0.1) = 20

• Evaluamos h(20): h(20) = -0.05*(20)^2 + 2*(20) + 1 = -0.05*400 + 40 + 1 = -20 + 40 + 1 = 21 metros

c) Altura después de 10 meses:

• h(10) = -0.05*(10)^2 + 2*(10) + 1 = -0.05*100 + 20 + 1 = -5 + 20 + 1 = 16 metros

Ejercicio 2: Estimación del volumen de troncos

El volumen de un tronco se aproxima por V(d) = 0.3d^2 + 1.5d, donde d es el diámetro en metros.

a) Volumen para diámetro de 0.1 m (10 cm):

V(0.1) = 0.3*(0.1)^2 + 1.5*(0.1) = 0.3*0.01 + 0.15 = 0.003 + 0.15 = 0.153 m^3

Volumen para diámetro de 0.5 m (50 cm):

V(0.5) = 0.3*(0.5)^2 + 1.5*(0.5) = 0.3*0.25 + 0.75 = 0.075 + 0.75 = 0.825 m^3

b) Diámetro necesario para un volumen de 5 m^3:

0.3d^2 + 1.5d - 5 = 0

Usamos fórmula cuadrática: a = 0.3, b = 1.5, c = -5

Discriminante: D = b^2 - 4ac = (1.5)^2 - 4*(0.3)*(-5) = 2.25 + 6 = 8.25

d = [-1.5 ± sqrt(8.25)] / (2*0.3) = [-1.5 ± 2.87] / 0.6

Soluciones: d1 = (1.37) / 0.6 ≈ 2.28 metros d2 = (-4.37) / 0.6 (descartamos por ser negativa)

Diámetro requerido: 2.28 metros

Ejercicio 3: Modelado de erosión del suelo

La profundidad de erosión está dada por E(x) = 0.02x^2 - 0.3x + 2, donde x es la distancia en metros desde un punto de referencia.

Hallar el punto de mayor erosión.

• Vértice: x = -b / (2a) = 0.3 / (2*0.02) = 0.3 / 0.04 = 7.5 metros

• Evaluamos E(7.5): E(7.5) = 0.02*(7.5)^2 - 0.3*(7.5) + 2 = 0.02*56.25 - 2.25 + 2 = 1.125 - 2.25 + 2 = 0.875 metros

Ejercicio 4: Optimización en reforestación

La densidad de árboles está dada por D(x) = -0.1x^2 + 1.5x, donde x es la distancia en metros.

Determinar la densidad máxima y la distancia óptima.

• Vértice: x = -b / (2a) = -1.5 / (2*(-0.1)) = -1.5 / (-0.2) = 7.5 metros

• Evaluamos D(7.5): D(7.5) = -0.1*(7.5)^2 + 1.5*(7.5) = -0.1*56.25 + 11.25 = -5.625 + 11.25 = 5.625 árboles por metro cuadrado

Ejercicio 5: Distribución de luz solar en un bosque

La cantidad de luz solar en un claro se modela con L(x) = -0.2x^2 + 3x, donde x es la distancia desde el borde del claro.

Determine a qué altura se logra captar la máxima luz solar y qué cantidad de luz se logra allí:

• Vértice: x = -b / (2a) = -3 / (2*(-0.2)) = -3 / (-0.4) = 7.5 metros

• Evaluamos L(7.5): L(7.5) = -0.2*(7.5)^2 + 3*(7.5) = -0.2*56.25 + 22.5 = -11.25 + 22.5 = 11.25 unidades de luz.

Estos ejemplos muestran cómo la función cuadrática se aplica directamente en distintos contextos prácticos de la ingeniería forestal, con cálculos paso a paso

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