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Curso completo de Lógica proposicional

¡Hola! Bienvenido al curso de lógica matemática. Comenzaremos por definir algunos conceptos básicos y luego nos adentraremos en los conectivos y tablas de verdad.

Proposición: Una proposición es una afirmación que es verdadera o falsa.

Ejemplos de proposiciones son:
"El cielo es azul"
"2 + 2 = 4"
"La Tierra es plana"

Conectivos: Los conectivos son palabras que se utilizan para unir proposiciones y formar nuevas proposiciones.

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Los principales conectivos son:

Negación: se representa con el símbolo ¬ y se utiliza para negar una proposición. Por ejemplo, si p es la proposición "El cielo es azul", entonces ¬p es la proposición "El cielo no es azul".

Conjunción: se representa con el símbolo ∧ y se utiliza para unir dos proposiciones mediante la palabra "y". Por ejemplo, si p es la proposición "El cielo es azul" y q es la proposición "El sol está brillando", entonces p ∧ q es la proposición "El cielo es azul y el sol está brillando".

Disyunción: se representa con el símbolo ∨ y se utiliza para unir dos proposiciones mediante la palabra "o". Por ejemplo, si p es la proposición "El cielo es azul" y q es la proposición "Está lloviendo", entonces p ∨ q es la proposición "El cielo es azul o está lloviendo".

Implicación: se representa con el símbolo → y se utiliza para indicar que una proposición implica otra. Por ejemplo, si p es la proposición "Si estudio, aprobaré el examen" y q es la proposición "He estudiado", entonces p → q es la proposición "Si estudio, aprobaré el examen; y he estudiado, por lo tanto aprobaré el examen".

Equivalencia: se representa con el símbolo ↔ y se utiliza para indicar que dos proposiciones son equivalentes. Por ejemplo, si p es la proposición "El cielo es azul" y q es la proposición "La hierba es verde", entonces p ↔ q es la proposición "El cielo es azul si y solo si la hierba es verde".

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Tablas de verdad: Una tabla de verdad es una herramienta para determinar los valores de verdad de una proposición compuesta en función de los valores de verdad de sus proposiciones componentes.

Por ejemplo, la tabla de verdad de la disyunción (p ∨ q) es:

pqp v q
VVV
FVV
VFV
FFF

Propiedades y leyes:

Ley de identidad: p ∧ V ≡ p ; p ∨ F ≡ p
Ley de negación: p ∧ ¬p ≡ F ; p ∨ ¬p ≡ V
Ley de doble negación: ¬(¬p) ≡ p
Ley de De Morgan: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q ; ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Ley de implicación: p → q ≡ ¬p ∨ q

A continuación, presento 20 ejercicios de lógica, incluyendo algunos ejemplos de tautologías y contradicciones, y su solución paso a paso.

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Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "Si hoy es lunes, entonces mañana es martes".
Solución: Esta proposición es verdadera. Si hoy es lunes, entonces el día siguiente es martes.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "El sol es una estrella y la luna es un planeta".
Solución: Esta proposición es falsa. El sol es una estrella, pero la luna es un satélite natural, no un planeta.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "Un número es mayor o igual que cero".
Solución: Esta proposición es una tautología. Todo número es mayor o igual que cero.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "2 + 2 = 5".
Solución: Esta proposición es una contradicción. La suma de 2 + 2 es igual a 4, no a 5.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "Si llueve, entonces el suelo está mojado".
Solución: Esta proposición es verdadera. Si llueve, el suelo se moja.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "El agua hierve a 10 grados Celsius".
Solución: Esta proposición es falsa. El agua hierve a 100 grados Celsius.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "Todos los gatos tienen cuatro patas".
Solución: Esta proposición es una tautología. Todos los gatos tienen cuatro patas.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "Las plantas no necesitan agua para sobrevivir".
Solución: Esta proposición es una contradicción. Las plantas necesitan agua para sobrevivir.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "La suma de dos números pares siempre es par".
Solución: Esta proposición es una tautología. La suma de dos números pares siempre es par.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "Todos los hombres son altos".
Solución: Esta proposición es falsa. No todos los hombres son altos.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "El cielo es azul o el pasto es verde".
Solución: Esta proposición es una tautología. El cielo es azul o el pasto es verde.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "El hielo es caliente".
Solución: Esta proposición es una contradicción. El hielo es frío, no caliente.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "Los triángulos tienen tres lados".
Solución: Esta proposición es una tautología. Los triángulos siempre tienen tres lados.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "Si un número es par, entonces su cuadrado es par".
Solución: Esta proposición es una tautología. Si un número es par, su cuadrado también es par.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "Todos los pájaros vuelan".
Solución: Esta proposición es falsa. No todos los pájaros pueden volar, por ejemplo, el avestruz no puede volar.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "La multiplicación de dos números impares siempre es impar".
Solución: Esta proposición es una tautología. La multiplicación de dos números impares siempre da como resultado un número impar.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "El agua fluye cuesta arriba".
Solución: Esta proposición es una contradicción. El agua siempre fluye cuesta abajo debido a la gravedad.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3".
Solución: Esta proposición es verdadera. Si la suma de los dígitos de un número es divisible por 3, entonces el número es divisible por 3.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una contradicción: "El sol sale por el oeste".
Solución: Esta proposición es una contradicción. El sol siempre sale por el este y se pone por el oeste.

Determine si la siguiente proposición es verdadera, falsa o una tautología: "Si un triángulo es equilátero, entonces sus tres ángulos son iguales".
Solución: Esta proposición es verdadera. Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales y, por lo tanto, sus tres ángulos son iguales.

Aquí te presento 20 ejercicios resueltos utilizando los conectivos lógicos y reduciéndolos a su mínima expresión:

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(p ∧ q) ∧ p
Solución: (p ∧ q) ∧ p = p ∧ (q ∧ p) = p ∧ q

p ∧ (q ∨ p)
Solución: p ∧ (q ∨ p) = p

(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)
Solución: (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) = p

(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Solución: (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) = p ∨ (q ∧ ¬q) = p

(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)
Solución: (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) = (p ∨ ¬p) ∧ q = V ∧ q = q

(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
Solución: (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) = (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)

(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r)
Solución: (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r) = (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r) ∧ (q ∨ ¬r) ∧ (p ∨ ¬p) = (p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬p ∧ r) = (p ∧ q) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬r)

¬(p ∧ q) ∨ (p ∨ ¬q)
Solución: ¬(p ∧ q) ∨ (p ∨ ¬q) = (¬p ∨ ¬q) ∨ (p ∨ ¬q) = V

¬(p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q)
Solución: ¬(p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q) = (¬p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q) = F

¬p ∨ (q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r)
Solución: ¬p ∨ (q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) = (¬p ∨ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) = (p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ q) ∧ (¬r ∨ r) ∨ (¬p ∨ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) = V ∧ V ∧ V ∨ (¬p ∨ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r) = V

(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r) ∨ (¬q ∧ r)
Solución: (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ r) ∨ (¬q ∧ r) = (p ∨ ¬p) ∧ (q ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) = V ∧ (q

(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ ¬q)
Solución: (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ ¬q) = (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) = ¬(p ∨ q)

(p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
Solución: (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q) = (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) = (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)

(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r)
Solución: (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) = p ∧ (q ∨ ¬q ∧ r) = p ∧ r

(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
Solución: (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) = (p ∧ ¬p ∨ q) ∧ (q ∧ ¬q ∨ ¬p) = V ∧ (¬p ∨ q) = ¬p ∨ q

(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)
Solución: (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q) = (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q) = (p ∧ ¬p ∨ q) ∧ (p ∧ ¬q ∨ ¬p) ∧ (q ∧ ¬p ∨ ¬q) = V ∧ (p ∧ ¬q ∨ ¬p) ∧ (q ∧ ¬p ∨ ¬q) = (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)

(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
Solución: (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) = p ∨ q

(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r)
Solución: (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ ¬r) = (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) = p

(p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (r ∧ ¬p)
Solución: (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (r ∧ ¬p) = (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬r ∧ ¬p) ∨ (r ∧ ¬p ∧ ¬q) = (p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬r ∧ ¬p)

(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q ∧ r)
Solución: (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) = (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) = ¬(p ∧ q)

Aquí te dejo ejercicios propuestos que incluyen conectivos y combinaciones de ellos, así como la absorción y otras propiedades lógicas:

Simplifica la siguiente expresión: (P ^ Q) v (P ^ Q)

¿Cuál es la contrapositiva de la siguiente proposición? "Si llueve, entonces la calle estará mojada".

¿Cuál es la negación de la siguiente proposición? "Todos los gatos tienen pelo".

Simplifica la siguiente expresión: (P ^ Q) ^ (P v Q)

¿Cuál es la implicación contraria de la siguiente proposición? "Si la puerta está cerrada, entonces la habitación está vacía".

¿Cuál es la negación de la siguiente proposición? "Ningún perro tiene alas".

Simplifica la siguiente expresión: (P v Q) ^ (P ^ Q)

¿Cuál es la contrapositiva de la siguiente proposición? "Si comes muchas golosinas, tendrás caries".

¿Cuál es la implicación contraria de la siguiente proposición? "Si estudias para el examen, entonces lo aprobarás".

Simplifica la siguiente expresión: (P v Q) v ( P ^ Q)

Espero que estos ejercicios te sean útiles para practicar tus habilidades lógicas. ¡Ánimo!

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Aquí tienes la resolución y explicación de cada ejercicio propuesto, paso a paso:

Simplifica la siguiente expresión: (P ^ Q) v (P ^ Q)

Usando la distribución del conectivo v sobre el conectivo ^, podemos reescribir la expresión como:

(P ^ Q) v (P ^ Q) = (P v P) ^ (P v Q) ^ (Q v P) ^ (Q v Q)

Usando la propiedad de identidad para el conectivo ^ (P ^ F = F ^ P = F) y la propiedad de contradicción para el conectivo v (P v P = T), podemos simplificar aún más la expresión:

(P v P) ^ (P v Q) ^ (Q v P) ^ (Q v Q) = P ^ (P v Q) ^ (Q v P) ^ F = P ^ (P v Q) ^ (Q v P)

Usando la propiedad conmutativa para el conectivo v (P v Q = Q v P), podemos simplificar aún más:

P ^ (P v Q) ^ (Q v P) = P ^ (P v Q) = P

Por lo tanto, la expresión original es equivalente a la proposición P.

¿Cuál es la contrapositiva de la siguiente proposición?
"Si llueve, entonces la calle estará mojada".

La contrapositiva de una proposición condicional "si P, entonces Q" es la proposición "si no Q, entonces no P".

Por lo tanto, la contrapositiva de la proposición "si llueve, entonces la calle estará mojada" es "si la calle no está mojada, entonces no está lloviendo".

¿Cuál es la negación de la siguiente proposición? "Todos los gatos tienen pelo".

La negación de una proposición universal "todos los P son Q" es la proposición existencial "al menos un P no es Q".

Por lo tanto, la negación de la proposición "todos los gatos tienen pelo" es "al menos un gato no tiene pelo".

Simplifica la siguiente expresión: (P ^ Q) ^ (P v Q)

Usando la distribución del conectivo ^ sobre el conectivo , podemos reescribir la expresión como:

 (P ^ Q) ^ (P v Q) = ( P v Q) ^ (P v Q)

Usando la propiedad de idempotencia para el conectivo v (P v P = P) y la propiedad de negación (P ^ P = F), podemos simplificar aún más la expresión:

( P v Q) ^ (P v Q) = ( P ^ (P v Q)) v ( Q ^ (P v Q)) = ( P ^ P) v ( P ^ Q) v (P ^ P) v (P ^ Q) = ( P ^ Q) v (P ^ Q)

Usando la propiedad conmutativa para el conectivo v (P v Q = Q v P), podemos simplificar aún más:

( P ^ Q) v (P ^ Q) = ( P v P) ^ Q = T ^ Q = Q

Por lo tanto, la expresión original es equivalente a la proposición Q.

¿Cuál es la implicación contraria de la siguiente proposición? "Si la puerta está cerrada, entonces la habitación está vacía".

La implicación contraria de una proposición condicional "si P, entonces Q" es la proposición condicional "si no Q, entonces no P".

Por lo tanto, la implicación contraria de la proposición "si la puerta está cerrada, entonces la habitación está vacía" es "si la habitación no está vacía, entonces la puerta no está cerrada".

¿Cuál es la negación de la siguiente proposición? "Ningún perro tiene alas".

La negación de una proposición universal negativa "ningún P es Q" es una proposición particular afirmativa "al menos un P es Q".

Por lo tanto, la negación de la proposición "ningún perro tiene alas" es "al menos un perro tiene alas".

Simplifica la siguiente expresión: (P v Q) ^ (P ^ Q)

Usando la propiedad de De Morgan (P ^ Q) = P v Q, podemos reescribir la expresión como:

(P v Q) ^ (P ^ Q) = (P v Q) ^ ( P v Q)

Usando la distribución del conectivo ^ sobre el conectivo v, podemos simplificar aún más:

(P v Q) ^ ( P v Q) = (P ^ P) v (P ^ Q) v (Q ^ P) v (Q ^ Q) = F v (P ^ Q) v (Q ^ P) v F = (P ^ Q) v (Q ^ P)

Usando la propiedad conmutativa para el conectivo v (P v Q = Q v P), podemos simplificar aún más:

(P ^ Q) v (Q ^ P) = (Q ^ P) v (P ^ Q) = (P ^ Q)

Por lo tanto, la expresión original es equivalente a la negación de la conjunción de P y Q.

¿Cuál es la contrapositiva de la siguiente proposición? "Si comes muchas golosinas, tendrás caries".

La contrapositiva de una proposición condicional "si P, entonces Q" es la proposición "si no Q, entonces no P".

Por lo tanto, la contrapositiva de la proposición "si comes muchas golosinas, tendrás caries" es "si no tienes caries, entonces no comes muchas golosinas".

¿Cuál es la implicación contraria de la siguiente proposición? "Si estudias para el examen, entonces lo aprobarás".

La implicación contraria de una proposición condicional "si P, entonces Q" es la proposición condicional "si no P, entonces no Q".

Por lo tanto, la implicación contraria de la proposición "si estudias para el examen, entonces lo aprobarás" es "si no estudias para el examen, entonces no lo aprobarás".

Simplifica la siguiente expresión: (P v Q) v ( P ^ Q)

Usando la propiedad de De Morgan (P v Q) = P ^ Q y la distribución del conectivo v sobre el conectivo ^, podemos reescribir la expresión como:

 (P v Q) v ( P ^ Q) = ( P ^ Q) v ( P ^ Q)

Usando la propiedad distributiva para el conectivo ^ sobre el conectivo v, podemos simplificar aún más:

( P ^ Q) v ( P ^ Q) = P ^ ( Q v Q)

Usando la propiedad de complemento (Q v Q = T), podemos simplificar la expresión Q v Q a la proposición verdadera T:

 P ^ T = P

Por lo tanto, la expresión original se simplifica a P.

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